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具体化⇆抽象化

更新日:2022年6月14日

いきなりですが、


 連続する5つの自然数のうち、

 もっとも小さい数をnとすると、

 もっとも大きい数は ① と表される。

 このとき、

 連続する5つの自然数の和は、

  ② (n+ ③ )と表される。

 このことから、

 連続する5つの自然数の和は、

 小さい方から ④ 番目の数の

  ⑤ 倍となっていることがわかる。


という穴埋め問題があったときどう考えますか?



連続する5つの自然数って何?

って、まずは具体的に考えることが大事ですよね。


たとえば、

4,5,6,7,8とか、

11,12,13,14,15とか、

つまりは、そういう連続する5つの自然数のことか、というように。


こうやって具体的に考えることで、

何の話をしているのかを的確に捉えることが出来るわけです。


人間は、具体的であり、個別的であり、目に見えるものしか理解できんようになっとる。

英語でも、「わかった! 理解した!」ってとき、「I see!」って言うやろ。例えばイギリス人にとっても、「見える」と「理解できる」は同じ意味なんや(『見えないときに、見る力。』谷川祐基著)。


もっとも小さい数をnとすると、最も大きい数は、え~っと?


たとえば、もっとも小さい数が4だったら最も大きい数は8で、

4をnとしているから、5,6,7,8って4つ増えてるな。

つまり、n+4ってことか?


じゃあ、もっとも小さい数が11だったら、、、最も大きい数は15だから、

11をnとして15を表現するには、やっぱりn+4で合ってるな。


と考えを進めることが出来るわけです。


もちろん慣れてきたら、いちいち考えないでしょう。

でも、それは慣れていてどういう事を言っているか、瞬時に理解できているからです。



数学というのは学年が上がれば上がるほど、

どんどん抽象化(一般化)が進んで、どんどん具体的なことから離れていくので、

そういう意味では直感的に捉えることが出来ず、どんどん理解不能になっていくのは当たり前なんですね。


たとえば、3㎝、4㎝、5㎝という直角三角形は成り立ちます。


これをもっと一般化していくと、

a、b、c(斜辺)、の直角三角形は、

a²+b²=c²という『三平方の定理』が成り立ちます。


これをもっと一般化していくと、

a、b、c、aとbの間の角をθとした場合、

あらゆる三角形でa²+b²-2ab cosθ=c²という『余弦定理』が成り立ちます。



、、、どんどんワケわからなくなりませんか(笑)?


でも逆に言うと、このθに具体的な角度である90°を代入すると、


a²+b²-2ab cos90°=c²

a²+b²-2ab×0=c²

a²+b²=c²


というように、

直角三角形という具体的な三角形限定の『三平方の定理』に落とし込むことができますし、


aやbやcに3㎝、4㎝、5㎝、を代入すると、具体的な直角三角形になるわけです。




数学は常に抽象に向かっとるんや。

そして、人間は具体的なものしか理解できんようになっとる。

本質の追究も、抽象方向に向かう活動やろ。


学年が進むほど、数学が嫌いな生徒や数学の苦手な人は、どんどん増えていく。

抽象に向かうほど、理解は難しくなり、理解できる人は少なくなっていく。


抽象的なものを抽象的なまま理解するのは難しい。

けど、対策は簡単やで。


逆に言えば、理解するためには、具体化すればいいんや(同)。



つまり前提として、抽象的なものは理解できない(しにくい)というのがあり、

だからこそ、具体的に考えて捉えていくというのが大事なんですね。



もし問題がわからなかったら、具体化して理解しなはれ。

理解できたら、抽象化して考えなはれ。これが出題者たちのメッセージや。

誘導(問題)もそのようについとる。問題をつくっている先生たちも、

本当は、数学の本質は抽象性にあると内々感じとるんやないかな。


具体化と抽象化は、何回も繰り返してええんや。

もしまたわからなくなったら、もう一回具体化して理解すればええ。

ただし、数学的に論証するには、抽象化が必要や。

具体化と抽象化の繰り返しで問題は解けるようになっとる(同)。



反対によくない例としてやりがちなのが、

抽象的な状態できちんと捉えることが出来ていない(理解出来ていない)にもかかわらず、

解き方だけをコピーしてしまうことです。


曖昧なところがあるなら、具体化してしっかりと理解することが大切ですね。





あ、ちなみに最初の問題ですが―


 連続する5つの自然数のうち、

 もっとも小さい数をnとすると、

 もっとも大きい数は ① と表される。

 このとき、

 連続する5つの自然数の和は、

  ② (n+ ③ )と表される。

 このことから、

 連続する5つの自然数の和は、

 小さい方から ④ 番目の数の

  ⑤ 倍となっていることがわかる。


冒頭で説明したと通り、①はn+4と言えそうです。


4,5,6,7,8とか、

11,12,13,14,15とか、

で、具体的に考えてみてくださいね。


連続する5つの自然数は一番小さい数を基準に考えると、

次の数は+1、その次の数はさらに1大きいので+2というように1ずつ増えていくことがわかります。

つまり、一番小さい数をnとして考えるなら、

小さい方から、n、n+1、n+2、n+3、n+4になりますね。


和というのは足した結果の事です。


ということで、

n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=5n+10


これを5でくくってあげると5(n+2)となりますね。


つまり②は5で、③は2となりました。


5(n+2)の(n+2)というのは、

先ほど並べた5つの自然数の小さい方から3番目の数ですね。

※たとえば一番小さい数が4だったら、(4+2である)6ということです。


5(n+2)とは5×(n+2)という意味ですので、

連続する5つの自然数の和である5(n+2)は、

小さい方から3番目の数の5倍になっていますね。


つまり④は3、⑤は5となることがわかりました。



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